マヨラナ束縛状態と結合した相関量子ドットの熱電応答

概要

我々は、マヨラナ束縛状態（MBS）をホストするトポロジカル半導体ナノワイヤーと、異なる温度に保たれた左右の非磁性電極に接続された量子ドット（QD）で構成されるハイブリッドデバイスにおける熱電効果を理論的に研究します。QD内の電子-電子クーロン相互作用を非平衡グリーン関数技術で考慮します。熱電効果（ゼーベック係数）の符号反転が、QD-MBS混成強度、ナノワイヤー両端のMBS間の直接重なり、系の温度を変化させることで発生することを発見しました。これはMBS検出に有用です。QDにゼーマン分裂がなく、磁性電極もないにもかかわらず、マヨラナフェルミオンのカイラル性によりMBSがQD内の特定のスピン方向の電子のみと結合するため、100%スピン偏極または純粋スピン熱電効果の大きな値が出現します。さらに、MBSの存在により熱電効果の大きさが顕著に増強されます。

はじめに

ゼロエネルギー・マヨラナ束縛状態（MBS）の作製と検出は、現代の凝縮系物理学において特に重要です。根本的に、MBSはマヨラナフェルミオンの固体版であり、デコヒーレンスのないトポロジカルに保護された量子情報を可能にする非アーベル統計と関連しており、量子計算への潜在的応用があります[1-3]。このほか、MBSはスピントロニクス[4]などの高効率電子デバイスの設計にも有望です。よく分離されたMBSは、非中心対称超伝導体[5]、超伝導体と結合した3次元または2次元トポロジカル絶縁体[6]、トポロジカル超伝導体中の静電欠陥[7]、p波超伝導体[8]、従来のs波超伝導体に近接効果で接した強いスピン軌道相互作用を持つ半導体[9]または強磁性[10]ナノワイヤー、ジョセフソン接合[11]など、さまざまな系で作製可能です。

MBSの検出に関しては、マヨラナフェルミオンが固有の粒子-空孔対称性により反粒子であり電荷中性であるため、かなり困難です。さまざまな実験が、トポロジカル超伝導体間のジョセフソン接合における4π周期ジョセフソン電流位相[12]、トポロジカル超伝導体とトポロジカル量子異常ホール絶縁体で構成されるハイブリッド構造における強制磁場での半整数コンダクタンスプラトー[13]、バルクs波超伝導体と結合したラシュバナノワイヤーを用いたトンネル分光[14]、ワイヤー端での微分コンダクタンスのゼロバイアス[14, 15]などの現象を通じてMBSの存在を検証するために実施されてきました。しかし、これらの現象にはMBS以外の物理的起源も考えられるため、代替スキームが提案されてきました。その一つは、MBSをゼロ次元量子ドット（QD）などの他のナノ構造と混成させることです。QDではエネルギー準位、電子-電子クーロン相互作用、粒子数、外部環境との結合強度がすべてよく制御可能です[16, 17]。低温では、QDのエネルギー準位がリードのフェルミエネルギーと揃ったときの半分の最大コンダクタンスが、一対のMBS形成の明確な証拠として理論的に予測されました[18]。この結果はQDエネルギー準位の調整によって変わらず[19]、InAs-Alナノワイヤーと結合したQDで実験的に観測されています[20]。最近では、QD構造に基づく光学スキームが、光ポンププローブ技術の助けを借りてMBSを検出するために理論的に提案されました[21, 22]。リング型またはT字型QDベースシステムでは、量子干渉現象がMBSによって劇的に影響を受け[23-25]、ファノ効果[26-28]などの助けを借りて検出スキームに利用できます。

最近、熱電効果を介したMBS検出に関する研究もあります。これは電気エネルギーと熱エネルギーの変換に焦点を当てています。この古い研究トピックは、メソスコピックデバイスやナノ構造の成長・作製の急速な進歩により、それらの熱電性能が明らかに向上したことで、再び注目を集めています[29, 30]。GaAs/AlGaAs界面二次元電子ガス上に定義されたQDベースの高効率エネルギーハーベスターが最近報告されています[31, 32]。これらにおける熱電効果の増強は、境界散乱による熱伝導率の大幅な低減と、これらの低次元系特有の電気輸送特性の最適化に起因すると考えられています[30-32]。熱電効果（ゼーベック係数）は熱電効果の中心量です。自由電子キャリアを持つ固体材料に温度勾配を加えたときの開放電圧の強さです。Houらは、QDとマヨラナエッジ状態をホストする超伝導体間の熱電効果がモットの公式を満たし、ランドウアー・ビュッティカー形式論を用いて一般的にゼロにならないことを理論的に予測しました[33]。この性質に基づき、微分コンダクタンスと熱電効果を測定することでマヨラナエッジ状態の温度を推測できます。Leijnseは、調整可能なエネルギー準位を持つQDとMBSの結合が粒子-空孔対称性を破り、熱電効果の変化がマヨラナ状態の存在を証明する新たな方法を提供することを理論的に実証しました[34]。このセットアップでの熱電特性は、超伝導体の温度検出やMBSの散逸的崩壊に関する情報抽出にも利用できます[34]。QDが2つの電極に結合した構造では、Lópezらは、MBS間の直接混成を変化させることで熱電効果の符号が変わることを示し、MBS存在の良い証拠となります[35]。熱電効果の符号反転は、2つ[36]または3つ[37]の電極を持つQDシステムでもその後見出されました。さらに、ショットノイズと熱電量の関係が、電荷中性MBSを検出する純粋に電気的な方法を提供する可能性が示されました[38, 39]。

本論文では、MBSと電極に結合したQDで構成されるハイブリッド系（図1参照）を提案し、熱電効果の特性を研究します。我々が考慮したナノシステムでは、先行研究[18, 22-24, 34-39]で無視されてきたQD内の強いクーロン相互作用を考慮に入れています。さらに、マヨラナフェルミオンのカイラル性により、QDのスピンの一方の成分のみがMBSと結合すると考えています[40]。QD-MBS結合強度、MBS間の直接混成、系の温度を変化させることで、熱電効果の符号を効果的に反転させられることを見出しました。その結果生じる大きな100%スピン偏極および純粋スピン熱電効果は、閉回路における対応する100%スピン偏極および純粋スピン電流であり、スピントロニクスで有用です。両方のMBSがQDと結合すると熱電効果の大きさがさらに増強されますが、一方のMBSのみがドットと結合している場合と本質的な結果は変わりません。現在、トポロジカル超伝導ナノワイヤーと結合したQDを通じたMBSの高度な量子輸送測定に基づき、我々の提案は将来実験的に検証可能であると考えられます。さらに、本研究の提案と発見は、QDにおけるMBS形成を検出する優れた方法を提供する可能性があります。

図1 モデルの模式図（カラーオンライン）。a ゲート調整可能なエネルギー準位ε_dを持つQDで構成されるシミュレーション構造の模式図。スピンアップまたはスピンダウン電子が占有可能。QDは異なる温度に保たれた左右のリードに結合強度Γ_L/Rで接続。MBS η_1/2は半導体ナノワイヤーの両端に形成され、マヨラナフェルミオンのカイラル性によりQD内のスピンアップ電子と結合強度λ_1、λ_2で結合。スピンアップ電子のエネルギー状態はMBS-QD結合により変化し、熱電効果Sの強さと符号に影響。本モデルでは左リード温度T_Lが右リード温度T_Rより高いと仮定し、左の高温リードでは化学ポテンシャルより上（下）の占有状態（空状態）により多くの電子が励起される。b, c MBS-QD結合がない場合の電子トンネル過程と結果の熱電効果。bではQDエネルギー準位ε_dがリードの化学ポテンシャルμ_L/R=μより上にあり、左の高温リードの占有状態ε_d>μから電子がドット状態ε_dを通って右の低温リードの空状態へトンネルし、負の熱電効果S<0となる。cではε_d<μで、熱電効果の符号がそれに応じて反転。

モデルと手法

MBSと左右の常金属電極に結合したQDの有効ハミルトニアンは以下の形を取ります[34, 35]：

$$ H = \sum_{k\beta\sigma}\varepsilon_{k\beta}c_{k\beta\sigma}^{\dag}c_{k\beta\sigma} + \sum_{\sigma}\varepsilon_{d}d_{\sigma}^{\dag}d_{\sigma} + Ud_{\uparrow}^{\dag} d_{\uparrow} d_{\downarrow}^{\dag} d_{\downarrow} + \sum_{k\beta\sigma}(V_{k\beta}c_{k\beta\sigma}^{\dag}d_{\sigma}+H.c) + H_{\text{MBSs}} $$ (1)

ここで、c_{kβσ}^† (c_{kβσ}) は運動量 k、エネルギー ε_{kβ}（常金属電極ではスピン依存性を無視）、スピン σ=↑,↓ の電子を電極 β=L,R で生成（消滅）させます。QDについて、d_σ^† (d_σ) はゲート電圧で調整可能なエネルギー準位 ε_d、スピン σ、ドット内クーロン相互作用 U を持つ電子の生成（消滅）演算子です。QDとリード間の結合強度は V_{kβ} で記述されます。式(1)の最後の項 H_MBSs は、半導体ナノワイヤーの両端に位置するゼロエネルギーMBSとそれらのQDとの結合を表します[18]：

$$ H_{\text{MBSs}} = i\delta_{M}\eta_{1}\eta_{2} + \lambda_{1}(d_{\uparrow}-d_{\uparrow}^{\dag})\eta_{1} + i\lambda_{2}(d_{\uparrow}+d_{\uparrow}^{\dag})\eta_{2} $$ (2)

ここで δ_M は演算子 η_j = η_j^† (j=1,2) と {η_i, η_j} = δ_{i,j} を満たす2つのMBS間の重なり振幅です。MBSとQD内のスピン↑電子間のホッピング振幅は λ_j で表されます。η_j を通常のフェルミオン演算子 f を用いて [18] η_1 = (f^† + f)/√2、η_2 = i(f^† - f)/√2 と書くと、H_MBSs は以下のように書き換えられます：

$$ H_{\text{MBSs}} = \delta_{M}\left(f^{\dag} f - \frac{1}{2}\right) + \frac{\lambda_{1}}{\sqrt{2}}\left(d_{\uparrow} - d_{\uparrow}^{\dag}\right)\left(f^{\dag} + f\right) - \frac{\lambda_{2}}{\sqrt{2}}(d_{\uparrow} + d_{\uparrow}^{\dag})\left(f^{\dag} - f\right) $$ (3)

系を線形応答領域、すなわち左右リード間の無限小バイアス電圧 ΔV と温度差 ΔT の下で考え、各スピン成分の電流と熱流を以下のように得ます：

$$ I_{e,\sigma} = -e^2 L_{0,\sigma} \Delta V + \frac{e}{T} L_{1,\sigma} \Delta T $$ (4)

$$ I_{h,\sigma} = e I_{1,\sigma} \Delta V - \frac{1}{T} L_{2,\sigma} \Delta T $$ (5)

ここで e は電子電荷、T は系の平衡温度です。

$$ L_{n,\sigma} = \frac{1}{\hbar} \int (\varepsilon - \mu)^n \left[-\frac{\partial f(\varepsilon,\mu)}{\partial \varepsilon}\right] T_{\sigma}(\varepsilon) \frac{d\varepsilon}{2\pi} $$ (6)

ここで ℏ は換算プランク定数。リードの化学ポテンシャル μ=0 をエネルギー零点とします。フェルミ分布関数は f(ε,μ) = 1/{1+exp[(ε-μ)/k_B T]} で、k_B はボルツマン定数。透過係数 T_σ(ε) は遅延グリーン関数を用いて以下のように計算されます：

$$ T_{\sigma}(\varepsilon) = \frac{\Gamma_{L}\Gamma_{R}}{\Gamma_{L}+\Gamma_{R}} [-2\text{Im}G_{\sigma}^{r}(\varepsilon)] $$ (7)

ここで Γ_{L(R)} = 2π Σ_k |V_{kL(R)}|^2 δ[ε - ε_{kL(R)}] は線幅関数。グリーン関数を得るために標準的な運動方程式手法を適用します。高次グリーン関数は文献[39]のスキーム2に従って打ち切ります。すなわち、反対スピンの電子の同時トンネルを無視します。いくつかの直接的な計算の後、スピンアップ遅延グリーン関数は以下のように与えられます：

$$ G_{\uparrow}^{r}(\varepsilon) = \frac{\varepsilon_{-} - \Sigma^{M}_{1} - U\left\{1- \langle n_{\downarrow}\rangle\left[1-(\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2})^2\tilde{B}\tilde{B}_{U}\right]\right\}}{\left(\varepsilon_{-} - \Sigma^{M}_{0}\right)\left(\varepsilon_{-} - U - \Sigma^{M}_{1}\right)} $$ (8)

ここで MBS誘起自己エネルギーは

$$ \Sigma^{M}_{0} = B_{1} + (\lambda_{1}^{2} - \lambda_{2}^{2})^2 B \tilde{B} $$ (9)

$$ \Sigma^{M}_{1} = B_{1} + (\lambda_{1}^{2} - \lambda_{2}^{2})^2 B \tilde{B}_{U} $$ (10)

以下を用います：

$$ B = \frac{\varepsilon}{\varepsilon^{2} - \delta_{M}^{2}} $$ (11)

$$ B_{1} = \frac{1}{2}\left(\frac{\lambda_{1}^{2} - \lambda_{2}^{2}}{\varepsilon - \delta_{M}} + \frac{\lambda_{1}^{2} + \lambda_{2}^{2}}{\varepsilon + \delta_{M}}\right) $$ (12)

$$ \tilde{B} = \frac{B}{\varepsilon_{+} + B_{2}} $$ (13)

$$ \tilde{B}_{U} = \frac{B}{\varepsilon_{+} + U - B_{2}} $$ (14)

ここで

$$ B_{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\lambda_{1}^{2} - \lambda_{2}^{2}}{\varepsilon + \delta_{M}} + \frac{\lambda_{1}^{2} + \lambda_{2}^{2}}{\varepsilon - \delta_{M}}\right) $$ (15)

および ε_± = ε ± ε_d + i(Γ_L + Γ_R)/2 です。ドット-MBS混成がない場合（λ_1 = λ_2 = 0）、Σ^M_{0,1} = 0 となり、G_↑^r(ε) は文献[39]のものに戻ります。n_↓ を n_↑ に変えることでスピンダウン遅延グリーン関数も得られます。占有数は以下から自己無撞着に計算されます：

$$ n_{\sigma} = \int \frac{d\varepsilon}{2\pi} \frac{\Gamma_{L}f_{L}(\varepsilon) + \Gamma_{R}f_{R}(\varepsilon)}{\Gamma_{L}+\Gamma_{R}} [-2\text{Im}G_{\sigma}^{r}(\varepsilon)] $$ (16)

ここで f_{L/R}(ε) は左/右電極のフェルミ分布関数です。

グリーン関数から透過関数を得たら、各スピン成分の電気コンダクタンスと熱電効果（ゼーベック係数）は G_σ = e^2 L_{0,σ} および S_σ = -L_{1,σ}/(e T L_{0,σ}) で与えられます。

結果と考察

以下では、QDと電極の対称結合を仮定し、Γ = 2Γ_L = 2Γ_R = 1 をエネルギー単位とします。ドット内クーロン相互作用は U = 10Γ で固定します。まず、λ_2 = 0 として、異なる混成強度 λ_1 でQDがMBS-1のみと結合している場合を図2で研究します。λ_1 = 0 の場合、図2aの各スピン成分のコンダクタンスは、それぞれ ε_d = -μ と -μ-U に位置する2つのピークを発達させます。このときQDはMBSによるスピン分極から自由であり、2つのスピン成分のコンダクタンスは互いに等しくなります（G_↑ = G_↓）。MBSとQDの混成をオンにすると（λ_1 ≠ 0）、図2aに示すように G_↑ の大きさは単調に抑制され、これは先行結果[18, 34, 35]と一致します。一方、G_↓ の値は、ドット内クーロン相互作用の存在により占有数 n_↓ が λ_1 で変化してもほぼ変わりません（図示せず）。一方、G_↑ のピーク位置と幅は、ドット-マヨラナ結合による準位再規格化により λ_1 の値でわずかに修正されます[18, 34, 35]。図2cの全コンダクタンス G = G_↑ + G_↓ の構成は G_↑ のそれと類似しています。

図2 異なるドット-マヨラナ結合強度でのスピン依存コンダクタンスと熱電効果（カラーオンライン）。a, c スピンアップおよび全コンダクタンス、b, d 熱電効果（ドット準位依存）。スピンダウンコンダクタンスと熱電効果はドット-マヨラナ結合強度 λ_1 でほぼ変化せず、a, c の黒実線と重なる。他のパラメータ：温度 T=0.025Γ、Δ_M=0、U=10Γ、λ_2=0

図2bの熱電効果 S_↑ は典型的な鋸歯状構成を示し、ε_d = μ、-U/2、μ-U の3点で個別にゼロになります[41, 42]。2つの共鳴状態（ε_d = μ、μ-U）それぞれで逆符号の鋭いピーク対を発達させ、ε_d が各零点を通過するたびに符号反転します。ドット-MBS混成がない場合（λ_1 = 0）、図2bの黒実線で示すように、ε_d が零点より下（上）にあるとき主キャリアが電子（正孔）であるため S_↑ は正（負）です。λ_1 を増加させると、スピンダウン熱電効果 S_↓ は変化せず、S_↑ の絶対値は最初に抑制され、その後増強されます。十分大きな λ_1 で S_↑ が符号反転します（図2b参照）。さらに λ_1 を増やすと、S_↑ の絶対値が S_↓ を超え、全熱電効果 S = S_↑ + S_↓ も符号反転します。この現象はスピンレスモデルでも以前に見出されています[35-37]。実際、MBSなしのQDベースデバイスでの熱電効果符号反転は、系平衡温度[29]、電極の磁気モーメント[43]、クーロン相互作用[43, 44]、QD間結合強度、印加磁場、量子干渉効果、複数ドット系での磁束貫通[45, 46]などいくつかの原因に帰属されてきました。これらのメカニズムは現在のケースとはかなり異なり、QDとMBSの混成を変化させることによる熱電効果の符号反転は、MBS検出に役立ちます[35-37]。

図3a, b は、異なる温度 T 値での全コンダクタンス G と熱電効果 S のドット準位 ε_d 依存性を示します。図3aの G のピーク値は、温度上昇で最初に増強され、その後抑制されます。一方、図3bの熱電効果の大きさは、化学ポテンシャルより上（下）に励起される電子（正孔）が増えるため、温度上昇で主に増強されます。さらに、T=0.1 と 0.2 のケースでピンクと緑の線で示すように S が符号反転します。これはMBSなしのQDベース構造での熱電効果と類似しています。T=0.2Γ で S のピーク値は 2k_B/e まで大きくなり、T=0.001 の1桁大きいです。実際、温度をさらに上げると熱電効果の大きさをさらに増強できることを確認しました。しかし本論文では、実験でMBSが形成される通常のケースである比較的低温での S の符号反転に焦点を当てます。図3c, d は、固定温度 T=0.025Γ で、ナノワイヤー両端の2つのMBS間の直接混成の異なる値でのコンダクタンスと熱電効果を示します。図3cのコンダクタンスピーク値は、δ_M 増加で単調に増強され、Lópezら[35]の結果と一致します。図3dの熱電効果は、0.03Γ < δ_M < 0.05Γ で符号反転し、これは温度 T=0.025Γ より大きいです。文献[32]ではスピンレスモデルで δ_M ≈ k_B T 付近で熱電効果が符号反転することが見出されました。本論文では、MBSが一方のスピン方向電子のみと結合するため、より大きな δ_M で S の符号反転が起こります。さらに、熱電効果のピーク値も δ_M 増加で増強されます。

図3 コンダクタンスと熱電効果（カラーオンライン）。全コンダクタンス G と熱電効果 S の ε_d と Δ_M に関するカウンタープロット（a, b）、温度 T に関するカウンタープロット（c, d）。λ_1 の値は 0.2Γ で固定。a, b の温度は 0.025Γ、c, d では Δ_M=0。他のパラメータは図2と同じ。

図4に、スピン分解熱電効果を λ_1 と δ_M の関数として個別に示します。図4aのスピンアップ熱電効果 S_↑ は λ_1 増加で最初に増加し、最大値に達してから減少し、十分大きな λ_1 で安定値に留まります。スピンダウン熱電効果 S_↓ の値は予想通り λ_1 で変化しません。S_↑ と S_↓ の振る舞いから2つの興味深い結果がもたらされます：一つは S_↑ = 0 だが S_↓ が有限値を持つときの100%スピン偏極熱電効果で、電子スピンのフィルタリングに利用可能；もう一つは S_↑ = -S_↓ のときの有限純粋スピン熱電効果 S_s = S_↑ - S_↓ で、電荷熱電効果 S_c = S_↑ + S_↓ = 0 となります（図4bのドット参照）。閉回路では、100%スピン偏極および純粋スピン熱電効果はそれぞれ対応する電流であり、スピントロニクスデバイスで仮想的です。図4b, d でも同様の結果が見られ、S_↑ が δ_M 変化で符号反転するのに対し S_↓ は不変です。これら100%スピン偏極および純粋スピン熱電効果が、QDに磁場や磁性材料なしで出現することを強調します。

図4 熱電効果のドット-マヨラナ結合強度と直接重なり依存性。a, b Δ_M=0 での λ_1 依存性、c, d λ_1=0.2Γ での Δ_M 依存性。他のパラメータは図2と同じ。

図5では、ナノワイヤー両端の両MBSがQDと結合している場合を、ワイヤーとドットが十分近接していて δ_M = 0 のときに研究します。図5aは、λ_2 存在下でも全コンダクタンス G が二重ピーク構成を保つことを示します。ピーク高さは λ_2 増加で抑制されます。図5bが示すように、S のライン形状も λ_2 の値で変化しません。コンダクタンスに反比例するため、S のピーク値は顕著に増強されます。λ_2 ~ 0.2Γ で熱電効果の大きさは 2 k_B/e まで達します。さらに、λ_2 を調整しても S は符号反転しないことがわかります。図6は、λ_1 = λ_2 = 0.2Γ で固定し、MBS間の直接混成 δ_M の異なる値での全熱電効果を ε_d の関数として示します。δ_M を調整することで熱電効果の大きさと符号の両方を効果的に変えられることがわかり、これは一方のMBSのみがQDと結合している場合と類似しています。最後に、現在のデバイスの実験的実現可能性について簡単に議論します。MBSをホストするナノワイヤーは、数ナノメートルのエピタキシャルAl層を持つ分子線エピタキシー法で成長したInAsで作製可能です[47]。この種のナノワイヤーにハード超伝導ギャップが誘導できることが実験的に証明されています[47, 48]。ワイヤー軸に沿って2 Tを超える臨界磁場を印加することで[20]。QDは、Alシェル端部の状態密度勾配により、ワイヤー端部の露出したInAsセグメントに形成されます[20, 47, 48]。

図5 他方のドット-マヨラナ結合が熱電効果に与える影響（カラーオンライン）。λ_1=0.2Γ、δ_M=0 での λ_2 の全コンダクタンス（a）と熱電効果（b）への影響。他のパラメータは図2と同じ。

図6 熱電効果のカウンタープロット（カラーオンライン）。λ_1=0.2Γ で固定したときの ε_d と λ_2 に関する熱電効果のカウンタープロット。他のパラメータは図2と同じ。

結論

結論として、クーロン相互作用を持つQDが左右の常金属電極に接続され、半導体ナノワイヤーに形成されたMBSとも結合している系における電気コンダクタンスと熱電効果の特性を研究しました。MBSは、クーロン反発で相互作用しているにもかかわらず、結合しているスピン成分のコンダクタンスと熱電効果のみに影響を与えます。熱電効果の符号は、ドット-MBS混成強度、MBS間の直接混成、系温度を調整することで変化させられます。非磁性QD構造で、大きな100%スピン偏極または純粋スピン熱電効果が得られます。ドットと両方のMBSの結合は熱電効果の大きさのみを変え、符号は変えません。我々の結果は、熱電技術を用いたMBS存在検出に有用である可能性があります。